جایگشت

در بعضی از مسائل می‌خواهیم تعداد طریق قرار گرفتن ۶ نفر در یک صف و یا تعداد طریق انتخاب ۲ نفر از بین ۶ نفر را به‌دست آوریم. برای این منظور می‌توان از اصول شمارش و مفهوم جایگشت استفاده کنیم.

جایگشت: ترتیبی را که می‌توان اشیا یک مجموعه را در کنار یکدیگر قرار داد یک جایگشت گویند.

نکته: اگر n عنصر متمایز را بخواهیم در یک صف کنار یکدیگر قرار دهیم، تعداد جایگشت‌های مختلف این عناصر برابر است با

n(n-1)(n-2)…(2)(1) =n!

مثال: چهار پزشک و پنج مهندس می‌خواهند در یک صف کنار یکدیگر قرار گیرند.
الف) احتمال این را که مهندس‌ها در یک طرف صف و پزشک‌ها در طرف دیگر صف قرار گیرند، بیابید.
ب) احتمال این را که پزشک‌ها و مهندس‌ها یک در میان در صف قرار گیرند، بیابید.
ج) احتمال این را که دو مهندس بخصوص همواره کنار یکدیگر قرار گیرند، بیابید.
د) احتمال این را که دو مهندس بخصوص هیچ‌گاه کنار یکدیگر قرار نگیرند، بیابید.

حل: در این حالت !n(s)=9 یعنی تعداد کل حالات قرار گرفتن این ۹ نفر در صف می‌باشد.
الف) اگر A پیشامد قرار گرفتن پزشک‌ها در یک طرف صف (به !4 طریق) و مهندس‌ها در طرف دیگر صف (به !5 طریق) باشد، چون شروع صف می‌تواند با پزشک‌ها یا مهندس‌ها باشد، پس داریم !n(A)=2!4!5 و در نتیجه

P(A) = n(A) / n(S) = 2!4!5! / 9!

ب) اگر B پیشامد قرار گرفتن پزشک‌ها و مهندس‌ها یک در میان در صف باشد، آن‌گاه مهندس‌ها به !5 طریق در صف قرار می‌گیرند و پزشک‌ها به !4 طریق در بین مهندس‌ها قرار می‌گیرند. پس !n(B)=4!5 و در نتیجه

P(B) = n(B) / n(S) = 4!5! / 9!

ج) اگر C پیشامد قرار گرفتن دو مهندس بخصوص در کنار یکدیگر باشد، این دو مهندس به !2 طریق کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و با در نظر گرفتن این دو مهندس به عنوان یک عنصر، در کل ۸ عنصر داریم که می‌توانند در صف قرار گیرند. پس !n(C) =8!2 و در نتیجه

P(C) = n(C) / n(S) = 8!2! / 9!

د) پیشامد مورد نظر، متمم C یعنی 'C است، در نتیجه

P(C') = 1 - 2 / 9 = 7 / 9

الهه ترکا

مدرس ریاضی