تعادل نش

   خب تا این‌جا به طور خلاصه در مورد پیش‌بینی آینده گفتیم. اولاً آینده یک Strategy Profile است؛ ثانیاً بین تمام Strategy Profile ها، آن Strategy Profile ای را ما می‌گوییم رخ می‌دهد که اگر رفتار بقیه را ثابت فرض کردیم هیچ یک از بازیکنان انگیزه‌ی تخطی نداشته باشد، یعنی انگیزه نداشته باشد رفتارش را عوض کنند. به این Strategy Profile با این شرایط که گفتیم، تعادل نش (Nash Equilibrium) گفته می‌شود .
 حالا هر آن‌چه را در بالا بیان شد، به زبان ریاضی بازنویسی می‌نماییم.

Nash equilibrium:

        if for every player_i :

                       u_i(a^*) >= u_i(a_i , a^*_-i)
       
for every action a_i of player_i where u_i(…) is payoff function representing player_i is preference.

عملاً در بالا داریم این‌طور می‌گوییم که ما به Strategy Profile ای مانند ^*a، تعادل نش اطلاق می‌کنیم اگر برای هر بازیکنی این شرط برقرار باشد که مطلوبیتی که از ^*a نصیبش می‌شود، یعنی همان u(a^*) بزرگ‌تر یا مساوی مطلوبیتی باشد که اگر بقیه مطابق ^*a بازی کنند (یعنی همان  a^*_-i. یعنی همان ^*a که فقط Action بازیکن i ام از آن حذف شده. معنای آن اندیس (i-) یعنی فقط Action بازیکن i ام از این Strategy Profile حذف شده) و بازیکن i ام هر Action دیگری را انتخاب کند (که در عبارت بالا هر Action دیگر متعلق به بازیکن i ام را با a_i نشان داده‌ایم).
پس اگر توانستیم یک Strategy Profile پیدا کنیم که شرایط بالا را داشته باشد، می‌گوییم یک تعادل نش یافته‌ایم یا به دیگر عبارت آینده‌ی موقعیت را پیش‌بینی نموده‌ایم.
   این مفهوم بسیار ساده است اما اگر برای اولین بار است که با این مفهوم آشنا می‌شوید، احتمالاً کمی گنگ به نظرتان برسد. اگر این‌طور بود اشکال از درک نکردن شما نیست، فقط باید چند مثال زد تا کاملاً روشن شود که در ادامه، این کار را انجام می‌دهیم.

یک جمع‌بندی خیلی کلی:
تعادل نش (Nash Equilibrium) یک مفهوم کاملاً ریاضی ست برای این‌که یک پیش‌بینی از آینده‌ی بازی بدهد.
تعادل نش یک Strategy Profile است. یعنی برای هر بازیکن یک Action معرفی می‌کند.
مهم‌ترین مفهومی که در نظریه بازی‌ها برای حل وجود دارد، تعادل نش است.