منوی اصلی
ثبت‌نام در سایت
ورود به سایت

تعداد ترکیب‌های با تکرار

نکته: تعداد جواب‌های صحیح و غیر منفی معادله  x1 + x2 + … + xn = r  که در آن i = 1, 2, …, n  و 0 ≤ xi به صورت زیر به‌دست می‌آید:

تعداد جواب‌های صحیح و غیر منفی

مثال: احتمال این‌که روزهای تولد یک خانواده ده نفری در سال، تمام روزهای هفته را شامل شوند، بیابید.
حل: تعداد کل راه‌هایی که ده نفر می‌توانند در روزهای مختلف هفته متولد شوند، از حل معادله زیر به دست می‌آید:

0 ≤ x1 + x2 + … + x7 = 10                    ,                xi

و بنابراین n(S)

اگر A پیشامد این باشد که روزهای تولد این ۱۰ نفر تمام روزهای هفته را شامل شود، در این‌صورت n(A) از حل معادله زیر به‌دست می‌آید:

0 ≤ x1 + x2 + … + x7 = 10                    ,                xi

و یا با قرار دادن 0 ≤ yi = xi - 1  داریم که  y1 + y2 + … + y7 = 3

بنابراین n(A) و در نتیجه: P(A) = n(A) / n(S) = 3 / 286

برای این مبحث مثال‌های جذاب و متنوعی می‌توان ارائه داد:
مثال: به چند طریق می‌توان n مهره متمایز را در k جعبه قرار داد به‌طوری‌که هر جعبه شامل حداقل 2 مهره باشد (n ≥ 2k).
حل: مسئله مانند حل معادله زیر است:

2 ≤ x1 + x2 + … + xk = n                    ,                xi

و یا با قرار دادن 0 ≤ yi = xi - 2  داریم که  y1 + y2 + … + y7 = n - 2k

بنابراین تعداد راه‌های ممکن برابر است با تعداد راه‌های ممکن

 

مثال: مدیر یک شرکت خصوصی می‌خواهد ۵ سکه بهار آزادی را به عنوان پاداش بین ۳ کارمند A, B, C تقسیم کند. احتمال این را که به کارمند A حداقل دو سکه پاداش دهد، بیابید.
حل: تعداد کل حالات پاداش دادن از حل معادله 0 ≤  X1 + X2 + X3 = 5      ,       XI   به‌دست می‌آید پس n(S)

اگر A پیشامد این باشد که کارمند A حداقل دو سکه دریافت کند، آن‌گاه تعداد راه‌های ممکن از حل معادله 0 ≤  X1 + X2 + X3 = 5    ,    X1  ≥  ۲  ,  X2, X3  به‌دست می‌آید. بنابراین n(A) و در نتیجه P(A) = n(A) / n(S) = 10 / 21

 


Yekta Vision
الهه ترکا

مدرس ریاضی


دیدگاه‌ها


برای ارسال دیدگاه باید عضو سایت باشید.


هنوز دیدگاهی ثبت نشده است. شما می‌توانید اولین دیدگاه را ارسال کنید.