تعداد ترکیبهای با تکرار
نکته: تعداد جوابهای صحیح و غیر منفی معادله x1 + x2 + … + xn = r که در آن i = 1, 2, …, n و 0 ≤ xi به صورت زیر بهدست میآید:
مثال: احتمال اینکه روزهای تولد یک خانواده ده نفری در سال، تمام روزهای هفته را شامل شوند، بیابید.
حل: تعداد کل راههایی که ده نفر میتوانند در روزهای مختلف هفته متولد شوند، از حل معادله زیر به دست میآید:
0 ≤ x1 + x2 + … + x7 = 10 , xi
و بنابراین
اگر A پیشامد این باشد که روزهای تولد این ۱۰ نفر تمام روزهای هفته را شامل شود، در اینصورت n(A) از حل معادله زیر بهدست میآید:
0 ≤ x1 + x2 + … + x7 = 10 , xi
و یا با قرار دادن 0 ≤ yi = xi - 1 داریم که y1 + y2 + … + y7 = 3
بنابراین و در نتیجه:
برای این مبحث مثالهای جذاب و متنوعی میتوان ارائه داد:
مثال: به چند طریق میتوان n مهره متمایز را در k جعبه قرار داد بهطوریکه هر جعبه شامل حداقل 2 مهره باشد (n ≥ 2k).
حل: مسئله مانند حل معادله زیر است:
2 ≤ x1 + x2 + … + xk = n , xi
و یا با قرار دادن 0 ≤ yi = xi - 2 داریم که y1 + y2 + … + y7 = n - 2k
بنابراین تعداد راههای ممکن برابر است با
مثال: مدیر یک شرکت خصوصی میخواهد ۵ سکه بهار آزادی را به عنوان پاداش بین ۳ کارمند A, B, C تقسیم کند. احتمال این را که به کارمند A حداقل دو سکه پاداش دهد، بیابید.
حل: تعداد کل حالات پاداش دادن از حل معادله 0 ≤ X1 + X2 + X3 = 5 , XI بهدست میآید پس
اگر A پیشامد این باشد که کارمند A حداقل دو سکه دریافت کند، آنگاه تعداد راههای ممکن از حل معادله 0 ≤ X1 + X2 + X3 = 5 , X1 ≥ ۲ , X2, X3 بهدست میآید. بنابراین و در نتیجه
الهه ترکا
مدرس ریاضی